Tenemos la ecuación:
$$- b e^{- a} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + n x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{b - n x e^{a}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{a}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{a}$$
obtendremos
$$- e^{- a} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{- b + n x e^{a}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{- a} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx}{- b + n x e^{a}}$$
o
$$- dy e^{- a} = \frac{dx}{- b + n x e^{a}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{- a}\right)\, dy = \int \frac{1}{- b + n x e^{a}}\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- y e^{- a} = Const + \frac{e^{- a} \log{\left(- b + n x e^{a} \right)}}{n}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{\log{\left(- b + n x e^{a} \right)}}{n}$$