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Ecuaciones diferenciales/ dx*x^7*y^10+dy*x^12*y^5=0

Ecuación diferencial dx*x^7*y^10+dy*x^12*y^5=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior
⌨

Solución

Ha introducido [src] 
 7  10       12  5    d           
x *y  (x) + x  *y (x)*--(y(x)) = 0
                      dx
x12y5(x)ddxy(x)+x7y10(x)=0x^{12} y^{5}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{7} y^{10}{\left(x \right)} = 0 
x^12*y^5*y' + x^7*y^10 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
x12y5(x)ddxy(x)+x7y10(x)=0x^{12} y^{5}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{7} y^{10}{\left(x \right)} = 0
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
f1⁡(x)=1\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1
g1⁡(y)=1\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1
f2⁡(x)=−1x5\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{5}}
g2⁡(y)=y5(x)\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{5}{\left(x \right)}
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
y5(x)y^{5}{\left(x \right)}
obtendremos
ddxy(x)y5(x)=−1x5\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{5}}
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
dxddxy(x)y5(x)=−dxx5\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{5}}
o
dyy5(x)=−dxx5\frac{dy}{y^{5}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{5}}

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
∫1y5 dy=∫(−1x5) dx\int \frac{1}{y^{5}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{5}}\right)\, dx
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
−14y4=Const+14x4- \frac{1}{4 y^{4}} = Const + \frac{1}{4 x^{4}}
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
y1⁡=y(x)=0\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0
y2⁡=y(x)=−i−x4C1x4+14\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - i \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}
y3⁡=y(x)=i−x4C1x4+14\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = i \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}
y4⁡=y(x)=−−x4C1x4+14\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}
y5⁡=y(x)=−x4C1x4+14\operatorname{y_{5}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}
Respuesta [src] 
y(x) = 0
y(x)=0y{\left(x \right)} = 0
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1 
                ___________
               /      4    
              /     -x     
y(x) = -I*   /   --------- 
          4 /            4 
          \/     1 + C1*x
y(x)=−i−x4C1x4+14y{\left(x \right)} = - i \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1 
               ___________
              /      4    
             /     -x     
y(x) = I*   /   --------- 
         4 /            4 
         \/     1 + C1*x
y(x)=i−x4C1x4+14y{\left(x \right)} = i \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1 
              ___________
             /      4    
            /     -x     
y(x) = -   /   --------- 
        4 /            4 
        \/     1 + C1*x
y(x)=−−x4C1x4+14y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1 
             ___________
            /      4    
           /     -x     
y(x) =    /   --------- 
       4 /            4 
       \/     1 + C1*x
y(x)=−x4C1x4+14y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1
Clasificación
factorable
separable
1st homogeneous coeff best
1st homogeneous coeff subs indep div dep
1st homogeneous coeff subs dep div indep
lie group
separable Integral
1st homogeneous coeff subs indep div dep Integral
1st homogeneous coeff subs dep div indep Integral
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