Tenemos la ecuación:
$$x^{12} y^{5}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{7} y^{10}{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{5}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{5}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{5}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{5}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{5}}$$
o
$$\frac{dy}{y^{5}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{5}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{5}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{5}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- \frac{1}{4 y^{4}} = Const + \frac{1}{4 x^{4}}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - i \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = i \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}$$
$$\operatorname{y_{5}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{- \frac{x^{4}}{C_{1} x^{4} + 1}}$$