Sr Examen

Lang:

Ecuación diferencial dx/y+dy/(2*x)=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

⌨

Ha introducido [src]

       d           
       --(y(x))    
 1     dx          
---- + -------- = 0
y(x)     2*x

\frac{1}{y{\left(x \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 x} = 0

1/y + y'/(2*x) = 0

Solución detallada

Tenemos la ecuación:

\frac{1}{y{\left(x \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 x} = 0

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde

\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1

\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1

\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x

\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}

Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)

\frac{1}{y{\left(x \right)}}

obtendremos

y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 2 x

Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así

dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 2 dx x

dy y{\left(x \right)} = - 2 dx x

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.

\int y\, dy = \int \left(- 2 x\right)\, dx

Tomemos estas integrales

\frac{y^{2}}{2} = Const - x^{2}

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:

\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 2 x^{2}}

\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x^{2}}

Respuesta [src]

           ___________
          /         2 
y(x) = -\/  C1 - 2*x

y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 2 x^{2}}

          ___________
         /         2 
y(x) = \/  C1 - 2*x

y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x^{2}}

Clasificación

separable

1st homogeneous coeff best

1st homogeneous coeff subs indep div dep

1st homogeneous coeff subs dep div indep

1st power series

lie group

separable Integral

1st homogeneous coeff subs indep div dep Integral

1st homogeneous coeff subs dep div indep Integral