Sr Examen
Ecuación diferencial dx*(x^2*y^2+1)+2*dy*x^2=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 2 d
1 + x *y (x) + 2*x *--(y(x)) = 0
dx
$$x^{2} y^{2}{\left(x \right)} + 2 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
x^2*y^2 + 2*x^2*y' + 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} y^{2}{\left(x \right)} + 2 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$2 x^{2} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + u^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
o
$$2 x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} + 1} = \frac{1}{2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{2 x}$$
o
$$- \frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{2 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{2} - 2 u + 1}\right)\, du = \int \frac{1}{2 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{u - 1} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{C_{1} - \log{\left(x \right)} - 2}{C_{1} - \log{\left(x \right)}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1} - \log{\left(x \right)} - 2}{x \left(C_{1} - \log{\left(x \right)}\right)}$$
$$x^{2} y^{2}{\left(x \right)} + 2 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$2 x^{2} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + u^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
o
$$2 x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} + 1} = \frac{1}{2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{2 x}$$
o
$$- \frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{2 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{2} - 2 u + 1}\right)\, du = \int \frac{1}{2 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{u - 1} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{C_{1} - \log{\left(x \right)} - 2}{C_{1} - \log{\left(x \right)}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1} - \log{\left(x \right)} - 2}{x \left(C_{1} - \log{\left(x \right)}\right)}$$
Respuesta
[src]
2 + C1 + log(x)
y(x) = ---------------
x*(C1 + log(x))
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} + \log{\left(x \right)} + 2}{x \left(C_{1} + \log{\left(x \right)}\right)}$$
Clasificación
separable reduced
lie group
separable reduced Integral