Sr Examen
Ecuación diferencial xydx-(x2+3y2)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d
x*y(x) - x2*--(y(x)) - 3*y2*--(y(x)) = 0
dx dx
$$x y{\left(x \right)} - x_{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 3 y_{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*y - x2*y' - 3*y2*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} - x_{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 3 y_{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{x_{2} + 3 y_{2}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{x_{2} + 3 y_{2}}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(x_{2} + 3 y_{2}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(x_{2} + 3 y_{2}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy \left(x_{2} + 3 y_{2}\right)}{y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{x_{2} + 3 y_{2}}{y}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\left(- x_{2} - 3 y_{2}\right) \log{\left(y \right)} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1} + \frac{x^{2}}{2 \left(x_{2} + 3 y_{2}\right)}$$
$$x y{\left(x \right)} - x_{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 3 y_{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{x_{2} + 3 y_{2}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{x_{2} + 3 y_{2}}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(x_{2} + 3 y_{2}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(x_{2} + 3 y_{2}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy \left(x_{2} + 3 y_{2}\right)}{y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{x_{2} + 3 y_{2}}{y}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\left(- x_{2} - 3 y_{2}\right) \log{\left(y \right)} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1} + \frac{x^{2}}{2 \left(x_{2} + 3 y_{2}\right)}$$
Respuesta
[src]
2
x
log(y(x)) = C1 + -------------
2*(x2 + 3*y2)
$$\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1} + \frac{x^{2}}{2 \left(x_{2} + 3 y_{2}\right)}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral