Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} + 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 3}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} - 2$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)} - 2$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 2} = - \frac{1}{x + 3}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{x + 3}$$
o
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{x + 3}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y + 2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x + 3}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- \log{\left(y + 2 \right)} = Const - \log{\left(x + 3 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} x + 3 C_{1} - 2$$