Sr Examen
Ecuación diferencial a*x''+bx'+cx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
a*---(x(t)) + b*--(x(t)) + c*x(t) = 0
2 dt
dt
$$a \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} + b \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + c x{\left(t \right)} = 0$$
a*x'' + b*x' + c*x = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} + b \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + c x{\left(t \right)}}{a} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{b k}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
$$k_{2} = - \frac{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{\frac{t \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + C_{2} e^{- \frac{t \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}}$$
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} + b \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + c x{\left(t \right)}}{a} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{b k}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
$$k_{2} = - \frac{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{\frac{t \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + C_{2} e^{- \frac{t \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}}$$
Respuesta
[src]
/ ____________\ / ____________ \
| / 2 | | / 2 |
t*\-b - \/ b - 4*a*c / t*\\/ b - 4*a*c - b/
------------------------ -----------------------
2*a 2*a
x(t) = C1*e + C2*e
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{\frac{t \left(- b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + C_{2} e^{\frac{t \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary