Sr Examen
Ecuación diferencial ty''-ty'+y=2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
t*---(y(x)) - t*--(y(x)) + y(x) = 2
2 dx
dx
$$- t \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + t \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 2$$
-t*y' + t*y'' + y = 2
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$t$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{- t \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + t \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}}{t} = \frac{2}{t}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -1$$
$$q = \frac{1}{t}$$
$$s = - \frac{2}{t}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - k + \frac{1}{t} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}}{2 t}$$
$$k_{2} = \frac{t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}}{2 t}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} + C_{2} e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(t - sqrt(t*(t - 4)))/(2*t)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(t + sqrt(t*(t - 4)))/(2*t)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{2}{t}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} = \frac{2}{t}$$
o
$$e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{\left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right) e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2 t} + \frac{\left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right) e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{2 t} = \frac{2}{t}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{2 e^{- \frac{x \left(1 - \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 e^{- \frac{x \left(1 + \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{2 e^{- \frac{x \left(1 - \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{2 e^{- \frac{x \left(1 + \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \begin{cases} \frac{4 e^{- \frac{x \left(1 - \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{- t + \sqrt{t^{2} - 4 t} + 4} & \text{for}\: - t + \sqrt{t^{2} - 4 t} + 4 \neq 0 \\- \frac{2 x}{\sqrt{t^{2} - 4 t}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \begin{cases} - \frac{4 e^{- \frac{x \left(1 + \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{t + \sqrt{t^{2} - 4 t} - 4} & \text{for}\: t + \sqrt{t^{2} - 4 t} - 4 \neq 0 \\\frac{2 x}{\sqrt{t^{2} - 4 t}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{x}{2}} e^{- \frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} + C_{4} e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} + \left(\begin{cases} \frac{4 e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}}}{- t e^{\frac{x}{2}} + \sqrt{t^{2} - 4 t} e^{\frac{x}{2}} + 4 e^{\frac{x}{2}}} & \text{for}\: - t + \sqrt{t^{2} - 4 t} + 4 \neq 0 \\- \frac{2 x}{\sqrt{t^{2} - 4 t}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{\frac{x}{2}} e^{- \frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} + \left(\begin{cases} - \frac{4}{t e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} + \sqrt{t^{2} - 4 t} e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} - 4 e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}}} & \text{for}\: t + \sqrt{t^{2} - 4 t} - 4 \neq 0 \\\frac{2 x}{\sqrt{t^{2} - 4 t}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$t$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{- t \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + t \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}}{t} = \frac{2}{t}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -1$$
$$q = \frac{1}{t}$$
$$s = - \frac{2}{t}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - k + \frac{1}{t} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}}{2 t}$$
$$k_{2} = \frac{t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}}{2 t}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} + C_{2} e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(t - sqrt(t*(t - 4)))/(2*t)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(t + sqrt(t*(t - 4)))/(2*t)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{2}{t}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} = \frac{2}{t}$$
o
$$e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{\left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right) e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2 t} + \frac{\left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right) e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{2 t} = \frac{2}{t}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{2 e^{- \frac{x \left(1 - \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 e^{- \frac{x \left(1 + \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{2 e^{- \frac{x \left(1 - \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{2 e^{- \frac{x \left(1 + \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \begin{cases} \frac{4 e^{- \frac{x \left(1 - \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{- t + \sqrt{t^{2} - 4 t} + 4} & \text{for}\: - t + \sqrt{t^{2} - 4 t} + 4 \neq 0 \\- \frac{2 x}{\sqrt{t^{2} - 4 t}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \begin{cases} - \frac{4 e^{- \frac{x \left(1 + \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}}}{t + \sqrt{t^{2} - 4 t} - 4} & \text{for}\: t + \sqrt{t^{2} - 4 t} - 4 \neq 0 \\\frac{2 x}{\sqrt{t^{2} - 4 t}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(t - \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(t + \sqrt{t \left(t - 4\right)}\right)}{2 t}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{x}{2}} e^{- \frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} + C_{4} e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} + \left(\begin{cases} \frac{4 e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}}}{- t e^{\frac{x}{2}} + \sqrt{t^{2} - 4 t} e^{\frac{x}{2}} + 4 e^{\frac{x}{2}}} & \text{for}\: - t + \sqrt{t^{2} - 4 t} + 4 \neq 0 \\- \frac{2 x}{\sqrt{t^{2} - 4 t}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{\frac{x}{2}} e^{- \frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} + \left(\begin{cases} - \frac{4}{t e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} + \sqrt{t^{2} - 4 t} e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}} - 4 e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}}} & \text{for}\: t + \sqrt{t^{2} - 4 t} - 4 \neq 0 \\\frac{2 x}{\sqrt{t^{2} - 4 t}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2 t}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ ____________\ / ____________\
| \/ t*(-4 + t) | | \/ t*(-4 + t) |
x*|1 - --------------| x*|1 + --------------|
\ t / \ t /
---------------------- ----------------------
2 2
y(x) = 2 + C1*e + C2*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(1 - \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}} + C_{2} e^{\frac{x \left(1 + \frac{\sqrt{t \left(t - 4\right)}}{t}\right)}{2}} + 2$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral