Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\frac{C_{1}}{x^{2}} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{C_{1}}{x^{2}} - 1}$$