Sr Examen
Ecuación diferencial (1+(y^2))*(e^(2x)dx-e^(y)dy)-(1+y)*dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 2*x d y(x) d 2 d y(x) 2*x - --(y(x)) + y (x)*e - --(y(x))*e - --(y(x))*y(x) - y (x)*--(y(x))*e + e = 0 dx dx dx dx
$$y^{2}{\left(x \right)} e^{2 x} - y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + e^{2 x} - e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
y^2*exp(2*x) - y^2*exp(y)*y' - y*y' + exp(2*x) - exp(y)*y' - y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y^{2}{\left(x \right)} e^{2 x} - y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + e^{2 x} - e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{2 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - e^{2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - dx e^{2 x}$$
o
$$- \frac{dy \left(y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1\right)}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - dx e^{2 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y^{2} e^{y} + y + e^{y} + 1}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- e^{2 x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- e^{y} - \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const - \frac{e^{2 x}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - \frac{e^{2 x}}{2} + e^{y{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(y^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1}$$
$$y^{2}{\left(x \right)} e^{2 x} - y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + e^{2 x} - e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{2 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - e^{2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - dx e^{2 x}$$
o
$$- \frac{dy \left(y^{2}{\left(x \right)} e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} + e^{y{\left(x \right)}} + 1\right)}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - dx e^{2 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y^{2} e^{y} + y + e^{y} + 1}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- e^{2 x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- e^{y} - \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const - \frac{e^{2 x}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - \frac{e^{2 x}}{2} + e^{y{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(y^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1}$$
Respuesta
[src]
/ 2 \ 2*x
log\1 + y (x)/ e y(x)
-------------- - ---- + atan(y(x)) + e = C1
2 2
$$- \frac{e^{2 x}}{2} + e^{y{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(y^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7500000514994186)
(-5.555555555555555, 0.7500024860176592)
(-3.333333333333333, 0.7501970271967425)
(-1.1111111111111107, 0.7666672162530801)
(1.1111111111111107, 1.763973426976516)
(3.333333333333334, 5.972953417854232)
(5.555555555555557, 10.417938830239901)
(7.777777777777779, 14.862407955627978)
(10.0, 19.30685281502626)
(10.0, 19.30685281502626)