Sr Examen
Ecuación diferencial (x3+y3)dx+3xy^2dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
x3 + y3 + 3*x*y (x)*--(y(x)) = 0
dx
$$3 x y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x_{3} + y_{3} = 0$$
3*x*y^2*y' + x3 + y3 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$3 x y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x_{3} + y_{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{x_{3} + y_{3}}{3 y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{x_{3} + y_{3}}{3 y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{3} + y_{3}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{3 dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{3} + y_{3}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{3 dy y^{2}{\left(x \right)}}{x_{3} + y_{3}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{3 y^{2}}{x_{3} + y_{3}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{3}}{x_{3} + y_{3}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x_{3} \log{\left(x \right)} - y_{3} \log{\left(x \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x_{3} \log{\left(x \right)} - y_{3} \log{\left(x \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - x_{3} \log{\left(x \right)} - y_{3} \log{\left(x \right)}}$$
$$3 x y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x_{3} + y_{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{x_{3} + y_{3}}{3 y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{x_{3} + y_{3}}{3 y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{3} + y_{3}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{3 dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{3} + y_{3}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{3 dy y^{2}{\left(x \right)}}{x_{3} + y_{3}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{3 y^{2}}{x_{3} + y_{3}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{3}}{x_{3} + y_{3}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x_{3} \log{\left(x \right)} - y_{3} \log{\left(x \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x_{3} \log{\left(x \right)} - y_{3} \log{\left(x \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - x_{3} \log{\left(x \right)} - y_{3} \log{\left(x \right)}}$$
Respuesta
[src]
3 ____________________________ / ___\
\/ C1 - x3*log(x) - y3*log(x) *\-1 - I*\/ 3 /
y(x) = ---------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x_{3} \log{\left(x \right)} - y_{3} \log{\left(x \right)}}}{2}$$
3 ____________________________ / ___\
\/ C1 - x3*log(x) - y3*log(x) *\-1 + I*\/ 3 /
y(x) = ---------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x_{3} \log{\left(x \right)} - y_{3} \log{\left(x \right)}}}{2}$$
3 ____________________________ y(x) = \/ C1 - x3*log(x) - y3*log(x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - x_{3} \log{\left(x \right)} - y_{3} \log{\left(x \right)}}$$
Clasificación
separable
1st exact
lie group
separable Integral
1st exact Integral