Ecuación diferencial dx/dt=(t/x^2)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \frac{t}{x^{2}{\left(t \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = t$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\frac{1}{x^{2}{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$x^{2}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = t$$
Con esto hemos separado las variables t y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$dt x^{2}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = dt t$$
o
$$dx x^{2}{\left(t \right)} = dt t$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int x^{2}\, dx = \int t\, dt$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\frac{x^{3}}{3} = Const + \frac{t^{2}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 t^{2}}{2}}$$
$$\operatorname{x_{2}} = x{\left(t \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 t^{2}}{2}}}{2}$$
$$\operatorname{x_{3}} = x{\left(t \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 t^{2}}{2}}}{2}$$