Sr Examen
Ecuación diferencial (x-7x^2)dy+sin2ydx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
d 2 d x*--(y(x)) - 7*x *--(y(x)) + sin(2*y(x)) = 0 dx dx
$$- 7 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
-7*x^2*y' + x*y' + sin(2*y) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 7 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \left(7 x - 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{1}{x \left(7 x - 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x \left(7 x - 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x \left(7 x - 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \frac{1}{x \left(7 x - 1\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - \frac{1}{7} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- 2401 C_{1} x^{4} + 1372 C_{1} x^{3} - 294 C_{1} x^{2} + 28 C_{1} x - C_{1} - 2401 x^{4}}{2401 C_{1} x^{4} - 1372 C_{1} x^{3} + 294 C_{1} x^{2} - 28 C_{1} x + C_{1} - 2401 x^{4}} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- 2401 C_{1} x^{4} + 1372 C_{1} x^{3} - 294 C_{1} x^{2} + 28 C_{1} x - C_{1} - 2401 x^{4}}{2401 C_{1} x^{4} - 1372 C_{1} x^{3} + 294 C_{1} x^{2} - 28 C_{1} x + C_{1} - 2401 x^{4}} \right)}}{2}$$
$$- 7 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \left(7 x - 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{1}{x \left(7 x - 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x \left(7 x - 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x \left(7 x - 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \frac{1}{x \left(7 x - 1\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - \frac{1}{7} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- 2401 C_{1} x^{4} + 1372 C_{1} x^{3} - 294 C_{1} x^{2} + 28 C_{1} x - C_{1} - 2401 x^{4}}{2401 C_{1} x^{4} - 1372 C_{1} x^{3} + 294 C_{1} x^{2} - 28 C_{1} x + C_{1} - 2401 x^{4}} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- 2401 C_{1} x^{4} + 1372 C_{1} x^{3} - 294 C_{1} x^{2} + 28 C_{1} x - C_{1} - 2401 x^{4}}{2401 C_{1} x^{4} - 1372 C_{1} x^{3} + 294 C_{1} x^{2} - 28 C_{1} x + C_{1} - 2401 x^{4}} \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
/ 4 4 2 3\
|-C1 - 2401*x - 2401*C1*x - 294*C1*x + 28*C1*x + 1372*C1*x |
acos|-------------------------------------------------------------|
| 4 3 2 4|
\ C1 - 2401*x - 1372*C1*x - 28*C1*x + 294*C1*x + 2401*C1*x /
y(x) = pi - -------------------------------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- 2401 C_{1} x^{4} + 1372 C_{1} x^{3} - 294 C_{1} x^{2} + 28 C_{1} x - C_{1} - 2401 x^{4}}{2401 C_{1} x^{4} - 1372 C_{1} x^{3} + 294 C_{1} x^{2} - 28 C_{1} x + C_{1} - 2401 x^{4}} \right)}}{2}$$
/ 4 4 2 3\
|-C1 - 2401*x - 2401*C1*x - 294*C1*x + 28*C1*x + 1372*C1*x |
acos|-------------------------------------------------------------|
| 4 3 2 4|
\ C1 - 2401*x - 1372*C1*x - 28*C1*x + 294*C1*x + 2401*C1*x /
y(x) = -------------------------------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- 2401 C_{1} x^{4} + 1372 C_{1} x^{3} - 294 C_{1} x^{2} + 28 C_{1} x - C_{1} - 2401 x^{4}}{2401 C_{1} x^{4} - 1372 C_{1} x^{3} + 294 C_{1} x^{2} - 28 C_{1} x + C_{1} - 2401 x^{4}} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7540071475140955)
(-5.555555555555555, 0.7611846244897885)
(-3.333333333333333, 0.7777506282644094)
(-1.1111111111111107, 0.8564984154210958)
(1.1111111111111107, 0.6032797499161121)
(3.333333333333334, 0.6934552260635282)
(5.555555555555557, 0.7109610743764649)
(7.777777777777779, 0.7183985343115749)
(10.0, 0.7225129491328408)
(10.0, 0.7225129491328408)