Sr Examen
Ecuación diferencial ydx-e^x(2y^2+1)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d x 2 d x - --(y(x))*e - 2*y (x)*--(y(x))*e + y(x) = 0 dx dx
$$- 2 y^{2}{\left(x \right)} e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-2*y^2*exp(x)*y' + y - exp(x)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 2 y^{2}{\left(x \right)} e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{- x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(2 y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(2 y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - dx e^{- x}$$
o
$$- \frac{dy \left(2 y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - dx e^{- x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 y^{2} + 1}{y}\right)\, dy = \int \left(- e^{- x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y^{2} - \log{\left(y \right)} = Const + e^{- x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{C_{1} - \frac{W\left(2 e^{2 C_{1} - 2 e^{- x}}\right)}{2} - e^{- x}}$$
$$- 2 y^{2}{\left(x \right)} e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{- x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(2 y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(2 y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - dx e^{- x}$$
o
$$- \frac{dy \left(2 y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - dx e^{- x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 y^{2} + 1}{y}\right)\, dy = \int \left(- e^{- x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y^{2} - \log{\left(y \right)} = Const + e^{- x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{C_{1} - \frac{W\left(2 e^{2 C_{1} - 2 e^{- x}}\right)}{2} - e^{- x}}$$
Respuesta
[src]
/ -x \
| - 2*e + 2*C1|
-x W\2*e /
C1 - e - --------------------
2
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{C_{1} - \frac{W\left(2 e^{2 C_{1} - 2 e^{- x}}\right)}{2} - e^{- x}}$$
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral