Ecuación diferencial yy'=(1-2*y)/y

Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1 - 2 y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1 - 2 y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1 - 2 y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)} - 1} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)} - 1} = dx$$
o
$$- \frac{dy y^{2}{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)} - 1} = dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y^{2}}{2 y - 1}\right)\, dy = \int 1\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{4} - \frac{\log{\left(2 y - 1 \right)}}{8} = Const + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = x + \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{y{\left(x \right)}}{4} + \frac{\log{\left(2 y{\left(x \right)} - 1 \right)}}{8} = C_{1}$$