Ecuación diferencial (2x³-xy²-2y+3)dx-(x²y+2x)dy=0

Tenemos la ecuación:
$$2 x^{3} - x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x y^{2}{\left(x \right)} - 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 3 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$2 x^{3} - x u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - 2 x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + 3 - \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$2 x^{3} - u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 3 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x^{3} - 3$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{1}{u{\left(x \right)} + 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{1}{u{\left(x \right)} + 2}$$
obtendremos
$$- \left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - 2 x^{3} - 3$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = dx \left(- 2 x^{3} - 3\right)$$
o
$$du \left(- u{\left(x \right)} - 2\right) = dx \left(- 2 x^{3} - 3\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- u - 2\right)\, du = \int \left(- 2 x^{3} - 3\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u^{2}}{2} - 2 u = Const - \frac{x^{4}}{2} - 3 x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{4} + 6 x} - 2$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{4} + 6 x} - 2$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{- \sqrt{C_{1} + x^{4} + 6 x} - 2}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt{C_{1} + x^{4} + 6 x} - 2}{x}$$