Tenemos la ecuación:
$$x^{2} - x y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x^{2} u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2} u{\left(x \right)} + x^{2} = 0$$
o
$$x^{3} u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + x^{2} u^{3}{\left(x \right)} - x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2} u{\left(x \right)} + x^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{\left(1 - u{\left(x \right)}\right) u^{2}{\left(x \right)} + u{\left(x \right)} - 1}{u^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{\left(1 - u{\left(x \right)}\right) u^{2}{\left(x \right)} + u{\left(x \right)} - 1}{u^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} - 1\right) u^{2}{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} - 1\right) u^{2}{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du u^{2}{\left(x \right)}}{\left(u{\left(x \right)} - 1\right) u^{2}{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u^{2}}{u^{2} \left(u - 1\right) - u + 1}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\frac{3 \log{\left(u - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{4} - \frac{1}{2 u - 2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = \log{\left(x \right)} + \frac{3 \log{\left(u{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4} - \frac{1}{2 \left(u{\left(x \right)} - 1\right)} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = C_{1} x$$