Sr Examen
Ecuación diferencial 4xdy-ydx=x^2dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 d
-y(x) + 4*x*--(y(x)) = x *--(y(x))
dx dx
$$4 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
4*x*y' - y = x^2*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \left(x - 4\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x \left(x - 4\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \left(x - 4\right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \left(x - 4\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \left(x - 4\right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x - 4}}$$
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \left(x - 4\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x \left(x - 4\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \left(x - 4\right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \left(x - 4\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \left(x - 4\right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x - 4}}$$
Respuesta
[src]
4 ___
C1*\/ x
y(x) = ----------
4 ________
\/ -4 + x
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x - 4}}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral