Ecuación diferencial x(2y^2-x^2)dx=sqrt(x^2+4)(xdy-ydx)

Tenemos la ecuación:
$$- x^{3} - x \sqrt{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x y^{2}{\left(x \right)} + \sqrt{x^{2} + 4} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$2 x^{3} u^{2}{\left(x \right)} - x^{3} + x \sqrt{x^{2} + 4} u{\left(x \right)} - x \sqrt{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$2 x^{3} u^{2}{\left(x \right)} - x^{3} - x^{2} \sqrt{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 2 u^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$2 u^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$
o
$$\frac{du}{2 u^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2 u^{2} - 1}\, du = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sqrt{2} \log{\left(u - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(u + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{4} = Const + \sqrt{x^{2} + 4}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \tanh{\left(C_{1} + \sqrt{2} \sqrt{x^{2} + 4} \right)}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{\sqrt{2} x}{2 \tanh{\left(C_{1} + \sqrt{2} \sqrt{x^{2} + 4} \right)}}$$