Tenemos la ecuación:
$$x{\left(t \right)} - 2 \sin{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = 2 \cos{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = Q(x)
donde
$$P{\left(t \right)} = 1$$
y
$$Q{\left(t \right)} = 2 \sin{\left(t \right)} + 2 \cos{\left(t \right)}$$
y se llama
lineal homogéneaecuación diferencial de 1 orden:Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y' + P(x)y = 0
con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(t \right)} = 1$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int 1\, dt = t + Const$$
Solución detallada de la integralEs decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} - t}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} - t}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{- t}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y' + P(x)y = Q(x)
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x
$$y = C{\left(t \right)} e^{- t}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d t} C{\left(t \right)} = \left(2 \sin{\left(t \right)} + 2 \cos{\left(t \right)}\right) e^{t}$$
Es decir, C(x) =
$$\int \left(2 \sin{\left(t \right)} + 2 \cos{\left(t \right)}\right) e^{t}\, dt = 2 e^{t} \sin{\left(t \right)} + Const$$
Solución detallada de la integralsustituimos C(x) en
$$y = C{\left(t \right)} e^{- t}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$e^{- t} \left(2 e^{t} \sin{\left(t \right)} + Const\right)$$