Sr Examen
Ecuación diferencial dy/dt=2*cos(t*w)/y
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2*cos(t*w) --(y(t)) = ---------- dt y(t)
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \frac{2 \cos{\left(t w \right)}}{y{\left(t \right)}}$$
y' = 2*cos(t*w)/y
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \frac{2 \cos{\left(t w \right)}}{y{\left(t \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \cos{\left(t w \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{2}{y{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{2}{y{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(t \right)} \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{2} = - \cos{\left(t w \right)}$$
Con esto hemos separado las variables t y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt y{\left(t \right)} \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{2} = - dt \cos{\left(t w \right)}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(t \right)}}{2} = - dt \cos{\left(t w \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{y}{2}\right)\, dy = \int \left(- \cos{\left(t w \right)}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{4} = Const - \begin{cases} \frac{\sin{\left(t w \right)}}{w} & \text{for}\: w \neq 0 \\t & \text{otherwise} \end{cases}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = \begin{cases} - \sqrt{C_{1} + \frac{4 \sin{\left(t w \right)}}{w}} & \text{for}\: w \neq 0 \\- \sqrt{C_{1} + 4 t} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(t \right)} = \begin{cases} \sqrt{C_{1} + \frac{4 \sin{\left(t w \right)}}{w}} & \text{for}\: w \neq 0 \\\sqrt{C_{1} + 4 t} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \frac{2 \cos{\left(t w \right)}}{y{\left(t \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \cos{\left(t w \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{2}{y{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{2}{y{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(t \right)} \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{2} = - \cos{\left(t w \right)}$$
Con esto hemos separado las variables t y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt y{\left(t \right)} \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{2} = - dt \cos{\left(t w \right)}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(t \right)}}{2} = - dt \cos{\left(t w \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{y}{2}\right)\, dy = \int \left(- \cos{\left(t w \right)}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{4} = Const - \begin{cases} \frac{\sin{\left(t w \right)}}{w} & \text{for}\: w \neq 0 \\t & \text{otherwise} \end{cases}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = \begin{cases} - \sqrt{C_{1} + \frac{4 \sin{\left(t w \right)}}{w}} & \text{for}\: w \neq 0 \\- \sqrt{C_{1} + 4 t} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(t \right)} = \begin{cases} \sqrt{C_{1} + \frac{4 \sin{\left(t w \right)}}{w}} & \text{for}\: w \neq 0 \\\sqrt{C_{1} + 4 t} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Respuesta
[src]
/ _________________
| / 4*sin(t*w)
|- / C1 + ---------- for w != 0
y(t) = < \/ w
|
| __________
\ -\/ C1 + 4*t otherwise
$$y{\left(t \right)} = \begin{cases} - \sqrt{C_{1} + \frac{4 \sin{\left(t w \right)}}{w}} & \text{for}\: w \neq 0 \\- \sqrt{C_{1} + 4 t} & \text{otherwise} \end{cases}$$
/ _________________
| / 4*sin(t*w)
| / C1 + ---------- for w != 0
y(t) = <\/ w
|
| __________
\ \/ C1 + 4*t otherwise
$$y{\left(t \right)} = \begin{cases} \sqrt{C_{1} + \frac{4 \sin{\left(t w \right)}}{w}} & \text{for}\: w \neq 0 \\\sqrt{C_{1} + 4 t} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral