Sr Examen

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Ecuación diferencial dx=(5y+1)dy

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

⌨

Ha introducido [src]

      d               d       
1 = 5*--(y(x))*y(x) + --(y(x))
      dx              dx

1 = 5 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}

1 = 5*y*y' + y'

Solución detallada

Tenemos la ecuación:

5 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde

\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1

\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1

\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1

\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{5 y{\left(x \right)} + 1}

Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)

\frac{1}{5 y{\left(x \right)} + 1}

obtendremos

\left(5 y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1

Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así

dx \left(5 y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx

dy \left(5 y{\left(x \right)} + 1\right) = dx

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.

\int \left(5 y + 1\right)\, dy = \int 1\, dx

Tomemos estas integrales

\frac{5 y^{2}}{2} + y = Const + x

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:

\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}

\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}

Respuesta [src]

               ___________
         1   \/ C1 + 10*x 
y(x) = - - - -------------
         5         5

y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}

               ___________
         1   \/ C1 + 10*x 
y(x) = - - + -------------
         5         5

y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}

Clasificación

factorable

separable

1st exact

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral