Sr Examen
Ecuación diferencial dx=(5y+1)dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d
1 = 5*--(y(x))*y(x) + --(y(x))
dx dx
$$1 = 5 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
1 = 5*y*y' + y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$5 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{5 y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{5 y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\left(5 y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(5 y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx$$
o
$$dy \left(5 y{\left(x \right)} + 1\right) = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(5 y + 1\right)\, dy = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{5 y^{2}}{2} + y = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}$$
$$5 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{5 y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{5 y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\left(5 y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(5 y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx$$
o
$$dy \left(5 y{\left(x \right)} + 1\right) = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(5 y + 1\right)\, dy = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{5 y^{2}}{2} + y = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}$$
Respuesta
[src]
___________
1 \/ C1 + 10*x
y(x) = - - - -------------
5 5
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}$$
___________
1 \/ C1 + 10*x
y(x) = - - + -------------
5 5
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 10 x}}{5} - \frac{1}{5}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral