Ecuación diferencial dy/dx=1/(2*y)

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

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Solución

Ha introducido [src]

d            1   
--(y(x)) = ------
dx         2*y(x)

$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$

y' = 1/(2*y)

Solución detallada

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx}{2}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = \frac{dx}{2}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \frac{1}{2}\, dx$$

Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x}{2}$$

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x}$$

Respuesta [src]