Sr Examen

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Ecuación diferencial dy/dx=1/(2*y)

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

⌨

Ha introducido [src]

d            1   
--(y(x)) = ------
dx         2*y(x)

\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}

y' = 1/(2*y)

Solución detallada

Tenemos la ecuación:

\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde

\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1

\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1

\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}

\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}

Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)

\frac{1}{y{\left(x \right)}}

obtendremos

y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2}

Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así

dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx}{2}

dy y{\left(x \right)} = \frac{dx}{2}

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.

\int y\, dy = \int \frac{1}{2}\, dx

Tomemos estas integrales

\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x}{2}

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:

\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x}

\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x}

Respuesta [src]

          ________
y(x) = -\/ C1 + x

y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x}

         ________
y(x) = \/ C1 + x

y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x}

Clasificación

separable

1st exact

Bernoulli

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral