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Ecuaciones diferenciales/ dy/y^4=x^5dx

Ecuación diferencial dy/y^4=x^5dx

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior
⌨

Solución

Ha introducido [src] 
d            
--(y(x))     
dx          5
-------- = x 
  4          
 y (x)
ddxy(x)y4(x)=x5\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = x^{5} 
y'/y^4 = x^5
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
ddxy(x)y4(x)=x5\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = x^{5}
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
f1⁡(x)=1\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1
g1⁡(y)=1\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1
f2⁡(x)=−x5\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{5}
g2⁡(y)=−y4(x)\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{4}{\left(x \right)}
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
−y4(x)- y^{4}{\left(x \right)}
obtendremos
−ddxy(x)y4(x)=−x5- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = - x^{5}
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
−dxddxy(x)y4(x)=−dxx5- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}
o
−dyy4(x)=−dxx5- \frac{dy}{y^{4}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
∫(−1y4) dy=∫(−x5) dx\int \left(- \frac{1}{y^{4}}\right)\, dy = \int \left(- x^{5}\right)\, dx
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
13y3=Const−x66\frac{1}{3 y^{3}} = Const - \frac{x^{6}}{6}
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
y1⁡=y(x)=23−1C1+x63\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}}
y2⁡=y(x)=23−1C1+x63(−1−3i)2\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}
y3⁡=y(x)=23−1C1+x63(−1+3i)2\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}
Respuesta [src] 
                  _________
       3 ___     /   -1    
y(x) = \/ 2 *   /  ------- 
             3 /         6 
             \/    C1 + x
y(x)=23−1C1+x63y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}}
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1 
                  _________               
       3 ___     /   -1     /         ___\
       \/ 2 *   /  ------- *\-1 - I*\/ 3 /
             3 /         6                
             \/    C1 + x                 
y(x) = -----------------------------------
                        2
y(x)=23−1C1+x63(−1−3i)2y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1 
                  _________               
       3 ___     /   -1     /         ___\
       \/ 2 *   /  ------- *\-1 + I*\/ 3 /
             3 /         6                
             \/    C1 + x                 
y(x) = -----------------------------------
                        2
y(x)=23−1C1+x63(−1+3i)2y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
separable reduced
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
separable reduced Integral
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