Sr Examen
Ecuación diferencial dy/cos4x=dx/y^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
--(y(x))
dx 1
-------- = -----
cos(4*x) 2
y (x)
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}} = \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
y'/cos(4*x) = y^(-2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}} = \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(4 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos{\left(4 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos{\left(4 x \right)}$$
o
$$- dy y^{2}{\left(x \right)} = - dx \cos{\left(4 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y^{2}\right)\, dy = \int \left(- \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{3}}{3} = Const - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}}}{2}$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}} = \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(4 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos{\left(4 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos{\left(4 x \right)}$$
o
$$- dy y^{2}{\left(x \right)} = - dx \cos{\left(4 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y^{2}\right)\, dy = \int \left(- \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{3}}{3} = Const - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}}}{2}$$
Respuesta
[src]
_________________
/ 3*sin(4*x)
y(x) = 3 / C1 + ----------
\/ 4
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}}$$
_________________
/ 3*sin(4*x) / ___\
3 / C1 + ---------- *\-1 - I*\/ 3 /
\/ 4
y(x) = ------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}}}{2}$$
_________________
/ 3*sin(4*x) / ___\
3 / C1 + ---------- *\-1 + I*\/ 3 /
\/ 4
y(x) = ------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}}}{2}$$
Clasificación
separable
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
Bernoulli Integral