Sr Examen
Ecuación diferencial sin^2y*dx+x^2*dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 d
sin (y(x)) + x *--(y(x)) = 0
dx
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
x^2*y' + sin(y)^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$\frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} + 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{x} + \frac{1}{x} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} + \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} + 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{x} + \frac{1}{x} \right)}$$
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$\frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} + 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{x} + \frac{1}{x} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} + \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} + 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{x} + \frac{1}{x} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ __________________________\
| / 2 2 2 |
| 1 \/ 1 + x + C1 *x + 2*C1*x |
y(x) = 2*atan|C1 + - - -----------------------------|
\ x x /
$$y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} + 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{x} + \frac{1}{x} \right)}$$
/ __________________________\
| / 2 2 2 |
| 1 \/ 1 + x + C1 *x + 2*C1*x |
y(x) = 2*atan|C1 + - + -----------------------------|
\ x x /
$$y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} + \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} + 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{x} + \frac{1}{x} \right)}$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral