Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y'=(2*x*y+y^2)/x^2
- Ecuación y-2*y'+y''=e^(2*x)
- Ecuación 2*y'=8+8*y/x+y^2/x^2
- Ecuación y''=e^(-2x)+√2
- Derivada de:
-
dy/dx
-
Expresiones idénticas
- dy/dx=𝒚−𝒙− uno +(x-y+ dos)^(- uno)
- dy dividir por dx es igual a 𝒚−𝒙−𝟏 más (x menos y más 2) en el grado ( menos 1)
- dy dividir por dx es igual a 𝒚−𝒙− uno más (x menos y más dos) en el grado ( menos uno)
- dy/dx=𝒚−𝒙−𝟏+(x-y+2)(-1)
- dy/dx=𝒚−𝒙−𝟏+x-y+2-1
- dy/dx=𝒚−𝒙−𝟏+x-y+2^-1
- dy dividir por dx=𝒚−𝒙−𝟏+(x-y+2)^(-1)
-
Expresiones semejantes
- dy/dx=𝒚−𝒙−𝟏-(x-y+2)^(-1)
- dy/dx=𝒚−𝒙−𝟏+(x-y+2)^(1)
- dy/dx=𝒚−𝒙−𝟏+(x-y-2)^(-1)
- dy/dx=𝒚−𝒙−𝟏+(x+y+2)^(-1)
-
Expresiones con funciones
- dy
- dy/dx*e^(-x^2)=3y^(2)*e^(x^2)*(1/(e^(2x^2)))
- dy/dx=x^2*y^2/(x+1)
- dy/dx=e^(-y)*(2*x+1)
- dy/y^4=x^7dx
- dy/dx=y^2-4
- dx
- dx*y+dy*(x+2/y)=0
- dx*y-dy*(4*x^2*y+x)=0
- dx*(x*y+x)-dy*(x^2*y+y)=0
- dx*x+dy*(x*y^2+y^2)=0
- dx*(x*y^3+1)+dy*x^2*y^2=0
Ecuación diferencial dy/dx=𝒚−𝒙−𝟏+(x-y+2)^(-1)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 1 --(y(x)) = -1 + ------------ - x + y(x) dx 2 + x - y(x)
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x + y{\left(x \right)} - 1 + \frac{1}{x - y{\left(x \right)} + 2}$$
y' = -x + y - 1 + 1/(x - y + 2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x - y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x - y{\left(x \right)} + 2} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x - y{\left(x \right)} + 2$$
y porque
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 2\right) - 1 - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
o
$$u{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u{\left(x \right)} + \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u{\left(x \right)} + \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{u^{2} - 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x - u{\left(x \right)} + 2$$
$$y1 = y(x) = x + \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1} + 2$$
$$y2 = y(x) = x - \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1} + 2$$
$$x - y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x - y{\left(x \right)} + 2} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x - y{\left(x \right)} + 2$$
y porque
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 2\right) - 1 - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
o
$$u{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u{\left(x \right)} + \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u{\left(x \right)} + \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{u^{2} - 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x - u{\left(x \right)} + 2$$
$$y1 = y(x) = x + \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1} + 2$$
$$y2 = y(x) = x - \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1} + 2$$
Clasificación
1st power series
lie group