Sr Examen
Ecuación diferencial dx*y-dy*(4*x^2*y+x)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 d
- x*--(y(x)) - 4*x *--(y(x))*y(x) + y(x) = 0
dx dx
$$- 4 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
-4*x^2*y*y' - x*y' + y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 4 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$- 4 x u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$- 4 u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{4 u^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}}{4 u{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}}{4 u{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(4 u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(4 u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du \left(4 u{\left(x \right)} + 1\right)}{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{4 u + 1}{2 u \left(2 u + 1\right)}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(2 u^{2} + u \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} x^{2} + 1}}{4} - \frac{1}{4}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} x^{2} + 1}}{4} - \frac{1}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{- \frac{\sqrt{C_{1} x^{2} + 1}}{4} - \frac{1}{4}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\frac{\sqrt{C_{1} x^{2} + 1}}{4} - \frac{1}{4}}{x}$$
$$- 4 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$- 4 x u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$- 4 u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{4 u^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}}{4 u{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}}{4 u{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(4 u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(4 u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du \left(4 u{\left(x \right)} + 1\right)}{2 \left(2 u{\left(x \right)} + 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{4 u + 1}{2 u \left(2 u + 1\right)}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(2 u^{2} + u \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} x^{2} + 1}}{4} - \frac{1}{4}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} x^{2} + 1}}{4} - \frac{1}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{- \frac{\sqrt{C_{1} x^{2} + 1}}{4} - \frac{1}{4}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\frac{\sqrt{C_{1} x^{2} + 1}}{4} - \frac{1}{4}}{x}$$
Respuesta
[src]
___________
/ 2
-1 + \/ 1 + C1*x
y(x) = -------------------
4*x
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} x^{2} + 1} - 1}{4 x}$$
___________
/ 2
-1 - \/ 1 + C1*x
y(x) = -------------------
4*x
$$y{\left(x \right)} = \frac{- \sqrt{C_{1} x^{2} + 1} - 1}{4 x}$$
Clasificación
factorable
1st exact
separable reduced
lie group
1st exact Integral
separable reduced Integral