Sr Examen
Ecuación diferencial dx*x+dy*(x*y^2+y^2)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 2 d
x + y (x)*--(y(x)) + x*y (x)*--(y(x)) = 0
dx dx
$$x y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*y^2*y' + x + y^2*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx x}{x + 1}$$
o
$$dy y^{2}{\left(x \right)} = - \frac{dx x}{x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y^{2}\, dy = \int \left(- \frac{x}{x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{3}}{3} = Const - x + \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - 3 x + 3 \log{\left(x + 1 \right)}}$$
$$x y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx x}{x + 1}$$
o
$$dy y^{2}{\left(x \right)} = - \frac{dx x}{x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y^{2}\, dy = \int \left(- \frac{x}{x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{3}}{3} = Const - x + \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - 3 x + 3 \log{\left(x + 1 \right)}}$$
Respuesta
[src]
3 _____________________ / 3 ___ 5/6\
\/ C1 - x + log(1 + x) *\- \/ 3 - I*3 /
y(x) = ------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}}{2}$$
3 _____________________ / 3 ___ 5/6\
\/ C1 - x + log(1 + x) *\- \/ 3 + I*3 /
y(x) = ------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}}{2}$$
3 _________________________ y(x) = \/ C1 - 3*x + 3*log(1 + x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - 3 x + 3 \log{\left(x + 1 \right)}}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral