Sr Examen
Ecuación diferencial dx*y+dy*(x+2/y)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
2*--(y(x))
d dx
x*--(y(x)) + ---------- + y(x) = 0
dx y(x)
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 0$$
x*y' + y + 2*y'/y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x}}{u{\left(x \right)}} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{2 \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} - \frac{2}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{2 u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{2 u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 2}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du \left(u{\left(x \right)} + 2\right)}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u + 2}{2 u}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{2} - \log{\left(u \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = 2 W\left(C_{1} x\right)$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{2 W\left(C_{1} x\right)}{x}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x}}{u{\left(x \right)}} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{2 \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} - \frac{2}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{2 u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{2 u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 2}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du \left(u{\left(x \right)} + 2\right)}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u + 2}{2 u}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{2} - \log{\left(u \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = 2 W\left(C_{1} x\right)$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{2 W\left(C_{1} x\right)}{x}$$
Respuesta
[src]
2*W(C1*x)
y(x) = ---------
x
$$y{\left(x \right)} = \frac{2 W\left(C_{1} x\right)}{x}$$
Clasificación
1st exact
separable reduced
1st power series
lie group
1st exact Integral
separable reduced Integral