Ecuación diferencial ydx+xinxdy=0

Tenemos la ecuación:
$$y \frac{d}{d y} x{\left(y \right)} + x{\left(y \right)} \log{\left(x{\left(y \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = x{\left(y \right)} \log{\left(x{\left(y \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$x{\left(y \right)} \log{\left(x{\left(y \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d y} x{\left(y \right)}}{x{\left(y \right)} \log{\left(x{\left(y \right)} \right)}} = - \frac{1}{y}$$
Con esto hemos separado las variables y y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dy,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dy \frac{d}{d y} x{\left(y \right)}}{x{\left(y \right)} \log{\left(x{\left(y \right)} \right)}} = - \frac{dy}{y}$$
o
$$\frac{dx}{x{\left(y \right)} \log{\left(x{\left(y \right)} \right)}} = - \frac{dy}{y}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por y.
$$\int \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\, dx = \int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con y
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = Const - \log{\left(y \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(y \right)} = e^{\frac{C_{1}}{y}}$$