Sr Examen
Ecuación diferencial ydx-(4+x^2)lnydy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 d
- 4*--(y(x))*log(y(x)) - x *--(y(x))*log(y(x)) + y(x) = 0
dx dx
$$- x^{2} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-x^2*log(y)*y' + y - 4*log(y)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2} + 4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 4}$$
o
$$- \frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\log{\left(y \right)}}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$
$$- x^{2} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2} + 4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 4}$$
o
$$- \frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\log{\left(y \right)}}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$
Respuesta
[src]
______________
/ /x\
- / C1 + atan|-|
\/ \2/
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$
______________
/ /x\
/ C1 + atan|-|
\/ \2/
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral