Ecuación diferencial (x^2-3x+2)2yy'=(3x-5)(y^2+1)

Tenemos la ecuación:
$$\left(2 x^{2} - 6 x + 4\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(3 x - 5\right) \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 2 x^{2} - 6 x + 4$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 5 - 3 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$2 x^{2} - 6 x + 4$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(3 x - 5\right) \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{2 \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{5 - 3 x}{2 \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx \left(5 - 3 x\right)}{2 \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx \left(5 - 3 x\right)}{2 \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \frac{5 - 3 x}{2 \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2} - \log{\left(x - 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x^{3} - 4 C_{1} x^{2} + 5 C_{1} x - 2 C_{1} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x^{3} - 4 C_{1} x^{2} + 5 C_{1} x - 2 C_{1} - 1}$$