Sr Examen
Ecuación diferencial x*dy/dx-(1+x)√(y^2-1)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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____________ d / 2 x*--(y(x)) - \/ -1 + y (x) *(1 + x) = 0 dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(x + 1\right) \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = 0$$
x*y' - (x + 1)*sqrt(y^2 - 1) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(x + 1\right) \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}} = \frac{x + 1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}} = \frac{dx \left(x + 1\right)}{x}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}} = \frac{dx \left(x + 1\right)}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y^{2} - 1}}\, dy = \int \frac{x + 1}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{acosh}{\left(y \right)} = Const + x + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \cosh{\left(C_{1} + x + \log{\left(x \right)} \right)}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(x + 1\right) \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}} = \frac{x + 1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}} = \frac{dx \left(x + 1\right)}{x}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 1}} = \frac{dx \left(x + 1\right)}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y^{2} - 1}}\, dy = \int \frac{x + 1}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{acosh}{\left(y \right)} = Const + x + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \cosh{\left(C_{1} + x + \log{\left(x \right)} \right)}$$
Respuesta
[src]
y(x) = cosh(C1 + x + log(x))
$$y{\left(x \right)} = \cosh{\left(C_{1} + x + \log{\left(x \right)} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)