Sr Examen
Ecuación diferencial 4*y"+4*y'+y=1/8*cos(x/2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
/x\
2 cos|-|
d d \2/
4*--(y(x)) + 4*---(y(x)) + y(x) = ------
dx 2 8
dx
$$y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}$$
y + 4*y' + 4*y'' = cos(x/2)/8
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{4} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 1$$
$$q = \frac{1}{4}$$
$$s = - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k + \frac{1}{4} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = - \frac{1}{2}$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{x}{2}} + C_{2} x e^{- \frac{x}{2}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{2}} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{2}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x/2) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(-x/2) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- \frac{x}{2}} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
o
$$x e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - \frac{e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{x e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{x e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32} - \frac{x e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32} + \frac{e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32} + \frac{e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{2}} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{2}} + C_{4} x e^{- \frac{x}{2}} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{4} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 1$$
$$q = \frac{1}{4}$$
$$s = - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k + \frac{1}{4} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = - \frac{1}{2}$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{x}{2}} + C_{2} x e^{- \frac{x}{2}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{2}} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{2}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x/2) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(-x/2) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- \frac{x}{2}} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
o
$$x e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - \frac{e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{x e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{x e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32} - \frac{x e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32} + \frac{e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32} + \frac{e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{32}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{2}} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{2}} + C_{4} x e^{- \frac{x}{2}} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/x\ -x
sin|-| ---
\2/ 2
y(x) = ------ + (C1 + C2*x)*e
16
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{- \frac{x}{2}} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral