Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación (1+x^2)y''+2xy'=x^3
- Ecuación 4*y+4*y'+y''=e^(-2*x)/x^3
- Ecuación -x*y+y'=-e^(-x^2)*y^3
- Ecuación y'=y^2/x^3
- Derivada de:
-
2*x-5
- Gráfico de la función y =:
-
2*x-5
-
Expresiones idénticas
- y"+ dos *y'+ dos *y= dos *x- cinco
- y" más 2 multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden más 2 multiplicar por y es igual a 2 multiplicar por x menos 5
- y" más dos multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden más dos multiplicar por y es igual a dos multiplicar por x menos cinco
- y"+2y'+2y=2x-5
-
Expresiones semejantes
- y"+2y'+2y=e^-xsinx
- y"+2y'+2y=exp^x/cosx
- y'-(2x-5)*y/(x^2)=5
- y"+2y'+2y=1/(exp(x)sinx)
- y"+2*y'+2*y=2*x+5
- y"-2*y'+2*y=2*x-5
- dy/dx+2x-5/x^2*y+5
- y''-(2x-5)y/x^2=0
- y'''-5y''+8y'-4y=(2x-5)exp(x)
- x'=2x-5y
- y"+2y'+2y=2sin4x
- y"+2*y'-2*y=2*x-5
Ecuación diferencial y"+2*y'+2*y=2*x-5
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
2*--(y(x)) + 2*y(x) + ---(y(x)) = -5 + 2*x
dx 2
dx
$$2 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 x - 5$$
2*y + 2*y' + y'' = 2*x - 5
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 x - 5$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 2$$
$$q = 2$$
$$s = 5 - 2 x$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 2 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - i$$
$$k_{2} = -1 + i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - i\right)} + C_{2} e^{x \left(-1 + i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 - i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1 + i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 2 x - 5$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 - i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + i\right)} = 2 x - 5$$
o
$$e^{x \left(-1 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 - i\right) e^{x \left(-1 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(-1 + i\right) e^{x \left(-1 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 2 x - 5$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = i \left(x - \frac{5}{2}\right) e^{x + i x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = i \left(\frac{5}{2} - x\right) e^{x - i x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int i \left(x - \frac{5}{2}\right) e^{x + i x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int i \left(\frac{5}{2} - x\right) e^{x - i x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + i \left(\frac{x e^{x} e^{i x}}{2} - \frac{i x e^{x} e^{i x}}{2} - \frac{5 e^{x} e^{i x}}{4} + \frac{7 i e^{x} e^{i x}}{4}\right)$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + i \left(- \frac{x e^{x} e^{- i x}}{2} - \frac{i x e^{x} e^{- i x}}{2} + \frac{5 e^{x} e^{- i x}}{4} + \frac{7 i e^{x} e^{- i x}}{4}\right)$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{- i x} + C_{4} e^{- x} e^{i x} + x - \frac{7}{2}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$2 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 x - 5$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 2$$
$$q = 2$$
$$s = 5 - 2 x$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 2 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - i$$
$$k_{2} = -1 + i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - i\right)} + C_{2} e^{x \left(-1 + i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 - i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1 + i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 2 x - 5$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 - i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + i\right)} = 2 x - 5$$
o
$$e^{x \left(-1 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 - i\right) e^{x \left(-1 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(-1 + i\right) e^{x \left(-1 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 2 x - 5$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = i \left(x - \frac{5}{2}\right) e^{x + i x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = i \left(\frac{5}{2} - x\right) e^{x - i x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int i \left(x - \frac{5}{2}\right) e^{x + i x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int i \left(\frac{5}{2} - x\right) e^{x - i x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + i \left(\frac{x e^{x} e^{i x}}{2} - \frac{i x e^{x} e^{i x}}{2} - \frac{5 e^{x} e^{i x}}{4} + \frac{7 i e^{x} e^{i x}}{4}\right)$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + i \left(- \frac{x e^{x} e^{- i x}}{2} - \frac{i x e^{x} e^{- i x}}{2} + \frac{5 e^{x} e^{- i x}}{4} + \frac{7 i e^{x} e^{- i x}}{4}\right)$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{- i x} + C_{4} e^{- x} e^{i x} + x - \frac{7}{2}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
7 -x
y(x) = - - + x + (C1*sin(x) + C2*cos(x))*e
2
$$y{\left(x \right)} = x + \left(C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x} - \frac{7}{2}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral