Sr Examen
Ecuación diferencial dy/dx+3/xy=2xy^3
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
3*y(x) d 3 ------ + --(y(x)) = 2*x*y (x) x dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{3 y{\left(x \right)}}{x} = 2 x y^{3}{\left(x \right)}$$
y' + 3*y/x = 2*x*y^3
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 2 x y^{3}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{3 y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 u^{3}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{3 u{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 u^{3}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 u{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - 2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- 2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{2 u \left(u^{2} - 1\right)}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(u \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{4} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{- \frac{1}{C_{1} x^{4} - 1}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{- \frac{1}{C_{1} x^{4} - 1}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{1} x^{4} - 1}}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{1} x^{4} - 1}}}{x}$$
$$- 2 x y^{3}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{3 y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 u^{3}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{3 u{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 u^{3}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 u{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - 2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- 2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{2 u \left(u^{2} - 1\right)}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(u \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{4} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{- \frac{1}{C_{1} x^{4} - 1}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{- \frac{1}{C_{1} x^{4} - 1}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{1} x^{4} - 1}}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{1} x^{4} - 1}}}{x}$$
Respuesta
[src]
___________
/ 1
- / ---------
/ 4
\/ 1 + C1*x
y(x) = ------------------
x
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{\frac{1}{C_{1} x^{4} + 1}}}{x}$$
___________
/ 1
/ ---------
/ 4
\/ 1 + C1*x
y(x) = ----------------
x
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{\frac{1}{C_{1} x^{4} + 1}}}{x}$$
Clasificación
Bernoulli
separable reduced
lie group
Bernoulli Integral
separable reduced Integral