Ecuación diferencial xdy/dx=y+(x^2-y^2)^2

Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(x^{2} - y^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x^{4} u^{4}{\left(x \right)} + 2 x^{4} u^{2}{\left(x \right)} - x^{4} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- x^{4} u^{4}{\left(x \right)} + 2 x^{4} u^{2}{\left(x \right)} - x^{4} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{4}{\left(x \right)} - 2 u^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{4}{\left(x \right)} - 2 u^{2}{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{4}{\left(x \right)} - 2 u^{2}{\left(x \right)} + 1} = x^{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{4}{\left(x \right)} - 2 u^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx x^{2}$$
o
$$\frac{du}{u^{4}{\left(x \right)} - 2 u^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx x^{2}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{4} - 2 u^{2} + 1}\, du = \int x^{2}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{2 u^{2} - 2} - \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{4} = Const + \frac{x^{3}}{3}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = - \frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(u{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(u{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4} - \frac{u{\left(x \right)}}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} - 1\right)} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = C_{1} x$$