Sr Examen
Ecuación diferencial y''+4y=x^2+3e^x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d 2 x
4*y(x) + ---(y(x)) = x + 3*e
2
dx
$$4 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x^{2} + 3 e^{x}$$
4*y + y'' = x^2 + 3*exp(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$4 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x^{2} + 3 e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 0$$
$$q = 4$$
$$s = - x^{2} - 3 e^{x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - 2 i$$
$$k_{2} = 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(2 x \right)} + C_{2} \cos{\left(2 x \right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = sin(2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = cos(2*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = x^{2} + 3 e^{x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(2 x \right)} = x^{2} + 3 e^{x}$$
o
$$\sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = x^{2} + 3 e^{x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + 3 e^{x}\right) \cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\left(x^{2} + 3 e^{x}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\left(x^{2} + 3 e^{x}\right) \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\left(x^{2} + 3 e^{x}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{10} + \frac{3 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} \sin{\left(2 x \right)} + C_{4} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{x^{2} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 e^{x} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 e^{x} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$4 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x^{2} + 3 e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 0$$
$$q = 4$$
$$s = - x^{2} - 3 e^{x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - 2 i$$
$$k_{2} = 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(2 x \right)} + C_{2} \cos{\left(2 x \right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = sin(2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = cos(2*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = x^{2} + 3 e^{x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(2 x \right)} = x^{2} + 3 e^{x}$$
o
$$\sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = x^{2} + 3 e^{x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + 3 e^{x}\right) \cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\left(x^{2} + 3 e^{x}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\left(x^{2} + 3 e^{x}\right) \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\left(x^{2} + 3 e^{x}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{10} + \frac{3 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} \sin{\left(2 x \right)} + C_{4} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{x^{2} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 e^{x} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 e^{x} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
2 x
1 x 3*e
y(x) = - - + -- + ---- + C1*sin(2*x) + C2*cos(2*x)
8 4 5
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(2 x \right)} + C_{2} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 e^{x}}{5} - \frac{1}{8}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral