Sr Examen
Ecuación diferencial (d^2x)/(dt^2)+4dx/dt+5x=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
4*--(x(t)) + 5*x(t) + ---(x(t)) = 0
dt 2
dt
$$5 x{\left(t \right)} + 4 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
5*x + 4*x' + x'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$5 x{\left(t \right)} + 4 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 4$$
$$q = 5$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 4 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -2 - i$$
$$k_{2} = -2 + i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{t \left(-2 - i\right)} + C_{2} e^{t \left(-2 + i\right)}$$
$$5 x{\left(t \right)} + 4 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = 4$$
$$q = 5$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 4 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -2 - i$$
$$k_{2} = -2 + i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{t \left(-2 - i\right)} + C_{2} e^{t \left(-2 + i\right)}$$
Respuesta
[src]
-2*t x(t) = (C1*sin(t) + C2*cos(t))*e
$$x{\left(t \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(t \right)} + C_{2} \cos{\left(t \right)}\right) e^{- 2 t}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary