Sr Examen
Ecuación diferencial yy"=2((y')^2)-((y')^3)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2 3 2 d /d \ /d \ ---(y(x))*y(x) = - |--(y(x))| + 2*|--(y(x))| 2 \dx / \dx / dx
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{3} + 2 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
y*y'' = -y'^3 + 2*y'^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{3} + 2 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \left(2 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \left(2 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'^{2} \left(y' - 2\right)}\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y' \right)}}{4} + \frac{\log{\left(y' - 2 \right)}}{4} + \frac{1}{2 y'} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \frac{\log{\left(\operatorname{y'}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\operatorname{y'}{\left(x \right)} \right)}}{4} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + \frac{1}{2 \operatorname{y'}{\left(x \right)}} = C_{1}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \left(\frac{\log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)}}{4} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + \frac{1}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}\right)\, dx = \int C_{1}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = \frac{\int \log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \right)}\, dx + \int \left(- \log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)}\right)\, dx + \int \frac{2}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}\, dx + \int 4 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx\, dx}{4} = C_{1} x + C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{3} + 2 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \left(2 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \left(2 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'^{2} \left(y' - 2\right)}\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y' \right)}}{4} + \frac{\log{\left(y' - 2 \right)}}{4} + \frac{1}{2 y'} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \frac{\log{\left(\operatorname{y'}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\operatorname{y'}{\left(x \right)} \right)}}{4} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + \frac{1}{2 \operatorname{y'}{\left(x \right)}} = C_{1}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \left(\frac{\log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)}}{4} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + \frac{1}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}\right)\, dx = \int C_{1}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = \frac{\int \log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \right)}\, dx + \int \left(- \log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)}\right)\, dx + \int \frac{2}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}\, dx + \int 4 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx\, dx}{4} = C_{1} x + C_{2}$$
Clasificación
factorable