Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y'=2*y^2/x^3
- Ecuación y'=4*y/x
- Ecuación 6y''+7y'-3y=0
- Ecuación 3*x^3*y^2*y'/2=x-1
- Derivada de:
-
x*e^(-x)
- Límite de la función:
-
x*e^(-x)
- Gráfico de la función y =:
-
x*e^(-x)
-
Expresiones idénticas
- y''+ siete *y'+ seis *y=x*e^(-x)
- y dos signos de prima para el segundo (2) orden más 7 multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden más 6 multiplicar por y es igual a x multiplicar por e en el grado ( menos x)
- y dos signos de prima para el segundo (2) orden más siete multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden más seis multiplicar por y es igual a x multiplicar por e en el grado ( menos x)
- y''+7*y'+6*y=x*e(-x)
- y''+7*y'+6*y=x*e-x
- y''+7y'+6y=xe^(-x)
- y''+7y'+6y=xe(-x)
- y''+7y'+6y=xe-x
- y''+7y'+6y=xe^-x
-
Expresiones semejantes
- y''+7*(y)'+6*(y)=x
- y''+7y'+6y=cos(x)
- y''+7y'+6y=x+!
- y''-7*y'+6*y=x*e^(-x)
- y''+7*y'+6*y=x*e^(x)
- y''+7*y'-6*y=x*e^(-x)
- y''+7y'+6y=0
Ecuación diferencial y''+7*y'+6*y=x*e^(-x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d -x
6*y(x) + 7*--(y(x)) + ---(y(x)) = x*e
dx 2
dx
$$6 y{\left(x \right)} + 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x e^{- x}$$
6*y + 7*y' + y'' = x*exp(-x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$6 y{\left(x \right)} + 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 7$$
$$q = 6$$
$$s = - x e^{- x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 7 k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -6$$
$$k_{2} = -1$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 6 x} + C_{2} e^{- x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-6*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = x e^{- x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 6 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} = x e^{- x}$$
o
$$e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 6 e^{- 6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = x e^{- x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{x e^{5 x}}{5}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{5}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{x e^{5 x}}{5}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{x}{5}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(1 - 5 x\right) e^{5 x}}{125}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{x^{2}}{10}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 6 x} + C_{4} e^{- x} + \frac{x^{2} e^{- x}}{10} - \frac{x e^{- x}}{25} + \frac{e^{- x}}{125}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$6 y{\left(x \right)} + 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 7$$
$$q = 6$$
$$s = - x e^{- x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 7 k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -6$$
$$k_{2} = -1$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 6 x} + C_{2} e^{- x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-6*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = x e^{- x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 6 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} = x e^{- x}$$
o
$$e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 6 e^{- 6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = x e^{- x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{x e^{5 x}}{5}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{5}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{x e^{5 x}}{5}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{x}{5}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(1 - 5 x\right) e^{5 x}}{125}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{x^{2}}{10}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 6 x} + C_{4} e^{- x} + \frac{x^{2} e^{- x}}{10} - \frac{x e^{- x}}{25} + \frac{e^{- x}}{125}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ 2 \
| x x -5*x| -x
y(x) = |C1 - -- + -- + C2*e |*e
\ 25 10 /
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} e^{- 5 x} + \frac{x^{2}}{10} - \frac{x}{25}\right) e^{- x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral