Sr Examen
Ecuación diferencial xdx+lnydy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
x + --(y(x))*log(y(x)) = 0
dx
$$x + \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x + log(y)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x + \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x$$
o
$$dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \log{\left(y \right)}\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y \log{\left(y \right)} - y = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{W\left(C_{1} - \frac{x^{2}}{2 e^{1}}\right) + 1}$$
$$x + \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x$$
o
$$dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \log{\left(y \right)}\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y \log{\left(y \right)} - y = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{W\left(C_{1} - \frac{x^{2}}{2 e^{1}}\right) + 1}$$
Respuesta
[src]
/ 2 -1\
| x *e |
1 + W|C1 - ------|
\ 2 /
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{W\left(C_{1} - \frac{x^{2}}{2 e}\right) + 1}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)