Ecuación diferencial y''+3*y'-18*y=-90*sin(3x)+90*cos(3x)

Tenemos la ecuación:
$$- 18 y{\left(x \right)} + 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - 90 \sin{\left(3 x \right)} + 90 \cos{\left(3 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 3$$
$$q = -18$$
$$s = 90 \sin{\left(3 x \right)} - 90 \cos{\left(3 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 3 k - 18 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -6$$
$$k_{2} = 3$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 6 x} + C_{2} e^{3 x}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-6*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(3*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - 90 \sin{\left(3 x \right)} + 90 \cos{\left(3 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 6 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{3 x} = - 90 \sin{\left(3 x \right)} + 90 \cos{\left(3 x \right)}$$
o
$$e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$3 e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 6 e^{- 6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - 90 \sin{\left(3 x \right)} + 90 \cos{\left(3 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - 10 \sqrt{2} e^{6 x} \cos{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 10 \sqrt{2} e^{- 3 x} \cos{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- 10 \sqrt{2} e^{6 x} \cos{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int 10 \sqrt{2} e^{- 3 x} \cos{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - 10 \sqrt{2} \left(\frac{e^{6 x} \sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{15} + \frac{2 e^{6 x} \cos{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{15}\right)$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + 10 \sqrt{2} \left(\frac{e^{- 3 x} \sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{6} - \frac{e^{- 3 x} \cos{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{6}\right)$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 6 x} + C_{4} e^{3 x} + \sqrt{2} \sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 3 \sqrt{2} \cos{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes