Sr Examen
Ecuación diferencial sin^2x*y'+y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
sin (x)*--(y(x)) + y(x) = 0
dx
$$y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
y + sin(x)^2*y' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$\sin^{2}{\left(x \right)}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = Const - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = 0,
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = Const - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}$$
Respuesta
[src]
1
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tan(x)
y(x) = C1*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral