Ecuación diferencial sin(y)cos(x)dy=cos(x)sin(y)dx

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Solución

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d                                           
--(y(x))*cos(x)*sin(y(x)) = cos(x)*sin(y(x))
dx

$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$$

sin(y)*cos(x)*y' = sin(y)*cos(x)

Solución detallada

Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = -1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$-1$$
obtendremos
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx$$
o
$$- dy = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-1\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$

Tomemos estas integrales
$$- y = Const - x$$

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} + x$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \pi$$

Respuesta [src]