Ecuación diferencial dy/dx=(x+2y+1)/(2x+y)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{x + 2 y{\left(x \right)} + 1}{2 x + y{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + \frac{2}{3}}{x - \frac{1}{3}}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x - \frac{1}{3}\right) u{\left(x \right)} - \frac{2}{3}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - \frac{1}{3}\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- \frac{x}{2 x + \left(x - \frac{1}{3}\right) u{\left(x \right)} - \frac{2}{3}} + \left(x - \frac{1}{3}\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\left(x - \frac{1}{3}\right) u{\left(x \right)} - \frac{2}{3}\right)}{2 x + \left(x - \frac{1}{3}\right) u{\left(x \right)} - \frac{2}{3}} + u{\left(x \right)} - \frac{1}{2 x + \left(x - \frac{1}{3}\right) u{\left(x \right)} - \frac{2}{3}} = 0$$
o
$$- \frac{1 - u^{2}{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 2} + \left(x - \frac{1}{3}\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x - \frac{1}{3}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1 - u^{2}{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x - \frac{1}{3}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = \frac{3 \left(1 - u^{2}{\left(x \right)}\right)}{\left(3 x - 1\right) \left(u{\left(x \right)} + 2\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1 - u^{2}{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 2}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{3}{3 x - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(u{\left(x \right)} + 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{3 dx}{3 x - 1}$$
o
$$- \frac{du \left(u{\left(x \right)} + 2\right)}{u^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{3 dx}{3 x - 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u + 2}{u^{2} - 1}\right)\, du = \int \frac{3}{3 x - 1}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{3 \log{\left(u - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2} = Const + \log{\left(3 x - 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + \frac{2}{3}}{x - \frac{1}{3}}$$
$$- \frac{3 \log{\left(-1 + \frac{y{\left(x \right)} + \frac{2}{3}}{x - \frac{1}{3}} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(1 + \frac{y{\left(x \right)} + \frac{2}{3}}{x - \frac{1}{3}} \right)}}{2} = Const + \log{\left(3 x - 1 \right)}$$