Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt4+y^2*dx-2ydy=3x^2ydy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2 2 d 2 d
y (x) + -- - 2*--(y(x))*y(x) = 3*x *--(y(x))*y(x)
dx dx dx
$$y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{2}{dx} = 3 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
y^2 - 2*y*y' + 2/dx = 3*x^2*y*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 3 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{2}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{3 x^{2} + 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2}{dx y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2}{dx y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{1}{3 x^{2} + 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{3 x^{2} + 2}$$
o
$$- \frac{dx dy y{\left(x \right)}}{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{3 x^{2} + 2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dx y}{dx y^{2} + 2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{3 x^{2} + 2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(dx y^{2} + 2 \right)}}{2} = Const - \frac{\sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{2} \right)}}{6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\frac{e^{C_{1} dx - \frac{\sqrt{6} i \log{\left(x - \frac{\sqrt{6} i}{3} \right)}}{6} + \frac{\sqrt{6} i \log{\left(x + \frac{\sqrt{6} i}{3} \right)}}{6}} - 2}{dx}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{e^{C_{1} dx - \frac{\sqrt{6} i \log{\left(x + \frac{\left(-1\right) \sqrt{6} i}{3} \right)}}{6} + \frac{\sqrt{6} i \log{\left(x + \frac{\sqrt{6} i}{3} \right)}}{6}} - 2}{dx}}$$
$$- 3 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{2}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{3 x^{2} + 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2}{dx y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2}{dx y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{1}{3 x^{2} + 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{3 x^{2} + 2}$$
o
$$- \frac{dx dy y{\left(x \right)}}{dx y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{3 x^{2} + 2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dx y}{dx y^{2} + 2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{3 x^{2} + 2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(dx y^{2} + 2 \right)}}{2} = Const - \frac{\sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{2} \right)}}{6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\frac{e^{C_{1} dx - \frac{\sqrt{6} i \log{\left(x - \frac{\sqrt{6} i}{3} \right)}}{6} + \frac{\sqrt{6} i \log{\left(x + \frac{\sqrt{6} i}{3} \right)}}{6}} - 2}{dx}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{e^{C_{1} dx - \frac{\sqrt{6} i \log{\left(x + \frac{\left(-1\right) \sqrt{6} i}{3} \right)}}{6} + \frac{\sqrt{6} i \log{\left(x + \frac{\sqrt{6} i}{3} \right)}}{6}} - 2}{dx}}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral