Sr Examen
Ecuación diferencial (1/sqrt(y^2-4))*dy=((x^2-9)/(x^2-8))dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
--(y(x)) 2
dx 9 x
--------------- = - ------- + -------
____________ 2 2
/ 2 -8 + x -8 + x
\/ -4 + y (x)
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 8} - \frac{9}{x^{2} - 8}$$
y'/sqrt(y^2 - 4) = x^2/(x^2 - 8) - 9/(x^2 - 8)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 8} - \frac{9}{x^{2} - 8}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}} = \frac{dx \left(x^{2} - 9\right)}{x^{2} - 8}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}} = \frac{dx \left(x^{2} - 9\right)}{x^{2} - 8}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y^{2} - 4}}\, dy = \int \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{acosh}{\left(\frac{y}{2} \right)} = Const + x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}}{8}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \cosh{\left(C_{1} + x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}}{8} \right)}$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 8} - \frac{9}{x^{2} - 8}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}} = \frac{dx \left(x^{2} - 9\right)}{x^{2} - 8}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} - 4}} = \frac{dx \left(x^{2} - 9\right)}{x^{2} - 8}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y^{2} - 4}}\, dy = \int \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{acosh}{\left(\frac{y}{2} \right)} = Const + x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}}{8}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \cosh{\left(C_{1} + x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}}{8} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ ___ / ___\ ___ / ___\\
| \/ 2 *log\x - 2*\/ 2 / \/ 2 *log\x + 2*\/ 2 /|
y(x) = 2*cosh|C1 + x - ---------------------- + ----------------------|
\ 8 8 /
$$y{\left(x \right)} = 2 \cosh{\left(C_{1} + x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}}{8} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)