Sr Examen
Ecuación diferencial dy-(y-1)^2dx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
-1 - y (x) + 2*y(x) + --(y(x)) = 0
dx
$$- y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
-y^2 + 2*y + y' - 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2} - 2 y + 1}\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{y - 1} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} - x + 1}{C_{1} - x}$$
$$- y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2} - 2 y + 1}\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{y - 1} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} - x + 1}{C_{1} - x}$$
Respuesta
[src]
1 + C1 - x
y(x) = ----------
C1 - x
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} - x + 1}{C_{1} - x}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral